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第316章 世纪望远镜与几何模型（第8页）
＞[
＞boxed{frac{t}{a}=text{常数}}
＞]
＞（适用于围绕同一中心天体运动的所有行星）
关键概念
t：行星绕太阳的公转周期（单位：年或秒）。
a：轨道半长轴（即平均轨道半径，单位：au或米）。
常数：仅取决于中心天体（太阳）的质量，与行星无关。
定律的物理意义
轨道越大，周期越长：
行星离太阳越远（a越大），公转一周所需时间（t）越长。
例如：地球（au）公转周期=年，火星（au）≈年。
定量关系：
[
tproptoaadrightarroduaptoa{}
]
周期随轨道尺寸呈次方增长。
数学推导（牛顿万有引力扩展）
开普勒第三定律可通过牛顿万有引力定律和圆周运动公式推导：
引力提供向心力：
[
frac{g}{a}=frac{v}{a}
]
g：万有引力常数
：太阳质量
：行星质量（可约去）
v：行星轨道度
度与周期关系（圆周运动）：
[
v=frac{pia}{t}
]
联立方程：
[
frac{g}{a}=eftfrac{pia}{t}rightcdotfrac{}{a}
]
化简后得到：
[
boxed{frac{t}{a}=frac{pi}{g}}
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]
常数frac{pi}{g}仅由太阳质量决定。
实际应用
（）计算行星轨道周期
例子：已知火星轨道半长轴a=text{au}，求其公转周期t。
地球的t_{text{地}}=text{年}，a_{text{地}}=text{au}。
根据开普勒第三定律：
[
frac{t_{text{火}}}{}=frac{t_{text{地}}}{}adrightarroduadt_{text{火}}=sqrt{}approxtext{年}
]
